La paradoja de Bertrand Russell

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas (todas las personas debían ser afeitadas por el barbero o por ellas mismas). Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

“En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería de afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si por el contrario, no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar ¡pero yo soy el único barbero de allí!“

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió por siempre felíz.

En lógica de primer orden, la paradoja del barbero se puede experesar como que el barbero se afeita a si mismo si y sólo si no se afeita a si mismo, lo cual es una contradicción.

Otro sería:

Como todos sabemos, hay catálogos de libros que se incluyen en sí mismos como un libro más. Hay otros en cambio que no incluyen a sí mismos. Incluirse a sí mismo es una decisión que en cada caso toma el editor, basado en sus preferencias personales. Pero imaginemos, propuso Bertrand Russell, que queremos hacer un Supercatálogo donde figuren todos los catálogos que “no” se incluyen en sí mismos y solamente ellos. A primera vista, parece fácil. Pero no es así. Porque… ¿qué hacemos con el propio Supercatálogo? ¿Lo incluimos o no lo incluimos? ¿Lo ponemos o no lo ponemos? Y, no. Porque si lo incluimos en el índice, el Supercatálogo se convierte en un catálogo de libros que se contiene a sí mismo, y por ende, no debe figurar.

Para evitar estas contradicciones, Russell formuló su teoría de los tipos y Ernesto Zermelo desarrolló una axiomática que restringe el concepto de conjunto.

Los dibujos de Escher, ejemplo de Paradojas.